Sonntag, 8. April 2012

„Was ist die Essenz des mathematischen Denkens?“

Aus einem Interview mit Peter Lax von Peter Imhasly (2010)

Sie besteht darin, Ideen auf eine absolut logische Art miteinander zu verbinden – wobei die Logik nur ein Werkzeug ist. Die Substanz der Mathematik sind phantastische Phänomene. Strömungsphänomene wie im Eine-Million-Dollar-Problem der Navier-Stokes Gleichungen sind ungeheuer beeindruckend. Sie lassen sich täglich beobachten, ihr Verhalten erklären kann man bis heute nicht.


Pädagogisch-fachdidaktischer Kommentar (Stefan Meyer)

In diesem kurzen Interviewausschnitt stechen drei Begriffe hervor: das logische Verbinden von Ideen, Logik als Werkzeug und Phänomene als Substanz der Mathematik.

Bezogen auf die Grundausbildung in der Mathematik genügt es also, wenn man diese drei Begriffe bewusst vor Augen hält. Allerdings kommt ein psychologisch-pädagogisches Moment hinzu, welches Piaget und seine Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter aufgezeigt sowie Constance Kamii (2004) haben: die Entwicklung des Denkens, des Handelns, der Sozialisation und des Empfindens. Was bedeuten diese Begriffe in Anlehnung an Lax?

 Zum logischen Verbinden von Ideen
Logik ist ein Werkzeug. Der Gebrauch von Logik ist schon im nonverbalen Verhalten von kleinen Kindern sichtbar. Später werden Begriffe miteinander verknüpft, bzw. es wird Sprache mit Handeln und Handeln mit Sprache verknüpft (Inhelder, Piaget, 1977; Piaget, Inhelder, 1973; Kamii, 2004). Das Beispiel des Zählens, der Zahlbegriffe und der Umgang mit der arithmetischen Symbolsprache belegt eindrücklich, dass die Verknüpfungen einer Entwicklung unterstehen. Diese zu beobachten und in der Pädagogik nutzbar zu machen, ist eine Kunst.

Zur Logik als Werkzeug
Frege (2001) hatte versucht, die Mathematik aus der Logik heraus zu begründen. Dieser Versuch ist gescheitert. Der Versuch hat aber auf phantastische Weise gezeigt, was die Logik für ein wundervolles geistiges Werkzeug ist. Für die Pädagogik bedeutet dies, dass man nicht Logik um ihrer selbst willen übt, sondern dass der Gebrauch der Logik im Sprechen und Handeln beobachtet wird, und dass diese Beobachtungen in die mathematischen Erörterungen zurück fliessen können. Dies zu moderieren ist ebenfalls eine Kunst.

Zu den Phänomenen als Substanz der Mathematik
Nach Lax, wie auch bei Wagenschein (1999), sind hervorragende Phänomene dasjenige, woraus die Mathematik  besteht. Man könnte auch sagen, dass das Wesentliche der Mathematik darin besteht, Phänomene mit Hilfe der Logik, der Zahlen und der Operationen einsichtig zu machen.

Geschieht das im Kindergarten oder in der Schule? Wir wollen nicht so naiv sein, einen phantastischen Mathematikunterricht für alle Tage einfordern zu wollen. Wir sollten aber auch nicht so naiv sein, dass wir die die Substanz der Mathematik je erfahren, wenn Mathematik nur aus Arbeitsblättern, Abhandlungen der Lehrperson an der Wandtafel und herunter geladenen Wochenplänen besteht.

Fantastische Phänomene findet man dadurch heraus, dass man die Lebenswelt der Lernenden beobachtet und indem man mit den Lernenden spricht. Diese sind auch Katalysatoren für die Sozialisation. Paulo Freire nannte dies das generative Verfahren. Phantastische Phänomene werden in der Lebenswelt geteilt und erforscht, sie sind nicht Phantasieprodukte der Lehrenden. Dann hat man eher die Gewähr, dass substantielles Lernen entwickelt werden kann. Dann erscheinen auch die Lehrbücher und die Arbeitsblätter als Werkzeuge und nicht als die Substanz der Mathematik.

Literatur 
Frege, G. (2001). Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl. Stuttgart: Philipp Reclam jun. 
Imhasly, P. (2010, 24.10.2010). Ich denke ständig an Mathematik. Ein Gespräch über die Essenz des mathematischen Denkens mit Peter Lax. NZZ am Sonntag. 
Inhelder, B., Piaget, J. (1977). Von der Logik des Kindes zur Logik des Heranwachsenden. Olten: Walter-Verlag. 
Kamii, C. (2004). Young Children Continue To Reinvent Arithmetic. 2nd Grade (2nd ed). New York: Teachers College Press. 
Piaget, J., Inhelder, B. (1973). Die Entwicklung der elementaren logischen Strukturen, Teil 1. Düsseldorf:                Pädagogischer Verlag Schwann.: Pädagogischer Verlag Schwann. 
Piaget, J., Inhelder, B. (1973). Die Entwicklung der elementaren logischen Strukturen, Teil 2. Düsseldorf: Pädagogischer Verlag Schwann.
Wagenschein, M. (1999). Verstehen lehren. Weinheim: Beltz Verlag.